“A-i” se scrie cu cratimă când “a” este auxiliarul care ajută la formarea modului infinitiv, iar “i” este o formă contractată a pronumelui personal (lui / ei): Dă-i biletul ăsta pentru a-i aduce aminte să vină.

“Ai” se scrie legat atunci când este
– un verb auxiliar care ajută la formarea perfectului compus sau condiționalului: Ai venit la timp / Ai fi venit la timp dacă primeai biletul.
– verbul “a avea” la modul indicativ, timpul prezent, persoana a II-a, numărul singular: Nu ai voie să vii.
– substantiv (cu semnificația de usturoi) … pentru rebusiști. 🙂